Mengenal dan Menemukan Invers Matriks

Tujuan Pembelajaran:

1.  Mengenal invers dari sebuah matriks
2. Menentukan invers sebuah matriks

Kegiatan 3

Mengenal dan Menemukan Invers Matriks

      A.     Mengenal invers dari suatu matriks

      Perhatikan contoh berikut ini!

      Matriks 

      adalah invers dari matriks A = 

      Invers matriks A ditulis dengan A^-1.

      Lakukan beberapa langkah berikut ini!

      1)     Kalikan matriks A dan A^-1! 

      2)   Matriks apa yang kalian dapat dari perkalian matriks A dan A^-1? 

      

             3)  Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian matriks A dan A^-1 dan hasil kalinya? 

      

            Setelah mencari hubungan antara A, A^-1 dan hasil kali dari A dan A^-1, carilah determinan dari 

            matriks A dan A^‑1! 

    

           Untuk mencari hubungan determinan dan invers matriks, lengkapilah tabel di bawah ini! 

             Dari tabel yang telah kalian lengkapi, buatlah kesimpulan tentang:

a.      Apakah semua matriks mempunyai invers?

b.      Bagaimana ciri-ciri matriks yang memiliki invers?

c.       Apakah semua matriks persegi mempunyai invers?

d.      Apakah hubungan antara determinan matriks dan invers matriks?

      B.     Menentukan Invers Matriks

      Dari kegiatan yang kalian dilakukan sebelumnya didapatkan bahwa

      1.      Jika matriks A memiliki invers A^-1, maka berlaku A.A^-1 = A^-1.A = I

      2.     det(AB) = det(A) x det(B)

Karena A.A^-1 = I, maka diperoleh

det(A) x det(A^-1) = det(I)

det(A) x det(A^-1) = 1

det(A^-1)               = 

      Untuk mencari hubungan matriks dengan inversnya, lengkapilah tabel berikut ini! 

      

       disebut matriks adjoint dari A.

       Matriks adjoint berasal dari transpos matriks kofaktor, maka matriks kofaktor dari matriks A 

       di atas adalah 

Dari pemaparan di atas diperoleh kesimpulan:

(4x1) – (2x6) adalah nilai … dari matriks A.

 disebut ...

Maka,

            adalah perkalian antara …

Sehingga untuk mencari invers sebuah matriks dengan cara 

Read More

Determinan Matriks 3x3 dan Sifatnya

Tujuan Pembelajaran:

1. Menemukan determinan matriks ordo 3x3 menggunakan konsep minor kofaktor
2. Menemukan determinan matriks ordo 3x3 menggunakan metode Sarrus 
3. Menemukan sifat-sifat determinan matriks ordo 3x3

Kegiatan 2

Determinan Matriks 3x3 dan Sifat-sifatnya

A. Determinan Matriks 3x3 menggunakan Minor Kofaktor

    Diberikan matriks K = 

    tentukan det(K)!

    Langkah 1

    Menentukan minor matriks K

    Untuk menentukan minor matriks K, lengkapi tabel berikut!

   

   

    Jadi, minor matriks K adalah 

    

    Langkah 2

    Menentukan kofaktor matriks K

    

   Untuk menentukan kofaktor matriks K, lengkapi tabel berikut!

  

   Jadi, kofaktor matriks K adalah 

   Langkah 3

   Tentukan ekspansi kofaktor baris pertama, kedua dan ketiga serta ekspansi kolom pertama, 

   kedua dan ketiga!

   Maka,

   Ekspansi kofaktor baris pertama       = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃

                                                               =

   Ekspansi kofaktor baris kedua           =

                                                               =

   Ekspansi kofaktor baris ketiga           =

                                                               =    

   

   Maka,

   Ekspansi kofaktor kolom pertama    = a₁₁C₁₁ + a₂₁C₂₁ + a₃₁C₃₁

                                                              =

   Ekspansi kofaktor kolom kedua        =

                                                              =

   Ekspansi kofaktor kolom ketiga        =

                                                              =

   

   Bagaimana hasil dari ekspansi kofaktor baris dan kolom? Apa yang dapat kalian simpulkan?

 

     

    

      A. Determinan matriks 3x3 menggunakan metode Sarrus

          Diberikan matriks K = 

          tentukan det(K)!

        

          Langkah 1

    Tulis kembali matriks K di atas! Setelah itu tulis kolom pertama dan kedua di samping kanan 

    matriks K!

    Perhatikan aturan berikut!

     Hitunglah hasil kali dari masing-masing diagonal!

    

     Untuk mencari det(K) = a + b + c – d – e – f

     Hitunglah det(K)!

    Bandingkan hasil dari det(K) dengan menggunakan minor kofaktor dan metode Sarrus! Adakah 

    kesamaan? Tulislah kesimpulanmu!

   

C. Sifat-sifat Determinan Matriks 3x3

    Diberikan matriks K = 

    Sifat 1

    Carilah transpose matriks K dan determinannya (det(K^T))!

    Apakah ada kesamaan antara det(K) dan det(K^T)? Tulislah kesimpulanmu!

    Sifat 2

    Diberikan matriks K = 

     dan L = 

     

     tentukan:

a.      Hasil KL dan det(KL)

b.      det(K)

c.       det(L)

d.      det(K).det(L)

     Apakah ada kesamaan antara det(KL) dan det(K).det(L)? Tulis kesimpulanmu!

    

    Sifat 3

    Diberikan matriks K = 

    tentukan nilai dari (3P) dan determinannya!

     Selidiki apakah det(kA) = k³ det(A)?

      

Read More

Determinan Matriks dan Sifat-sifatnya

Lembar Kerja Siswa

Nama    :

Kelas     :

Tujuan Pembelajaran:

      1.       Menemukan determinan matriks ordo 1x1, dan 2x2 menggunakan konsep minor kofaktor

      2.       Menemukan sifat-sifat determinan matriks ordo 2x2

Kegiatan 1

Determinan Matriks 2x2

     A.      Determinan matriks 1x1

      Diberikan matriks K = [4] dan matriks L = [-7], tentukan determinan dari matriks K dan L!

      (Kerjakan sesuai dengan definisi di atas)

     B.      Determinan matriks 2x2 menggunakan minor dan kofaktor

            Diberikan matriks X = 

     tentukan det(X) !

     Untuk menemukan det(X) menggunakan minor dan kofaktor, ikuti langkah-langkah berikut!

     Langkah 1

     Carilah minor elemen baris 1 kolom 1 dan seterusnya (M₁₁, M₁₂, M₂₁, dan M₂₂)!

     Setelah mencari minor dari matriks X, carilah kofaktor dari matriks X!

     Kofaktor elemen baris I dan kolom j dilambangkan C_ij dan dirumuskan sebagai

     C­_ij = (-1)^i+j . M_ij

     Dengan rumus kofaktor di atas, carilah nilai C₁₁, C₁₂, C₂₁, dan C₂₂!

      Jadi, diperoleh minor matriks X = 

      Dan kofaktor matriks X = 

      

     

      C.      Determinan matriks 2x2

       Dari definisi 1.2 tentukan det(X)! (dari matriks X di atas)

    D.     Sifat-sifat Determinan Matriks 2x2

 

     Sifat 1

     Diberikan matriks A = 

     dan B =

     carilah nilai dari:

     1.      det(A)

     2.      det(B)

     3.      det(A).det(B)

     4.      AB dan det(AB)

     5.      BA dan det(BA)

     Apakah ada kesamaan hasil dari det(A).det(B), det(AB) dan det(BA)? Lalu tuliskan kesimpulan 

     menurut bahasamu sendiri!

     Sifat 2

     Carilah tranpose matriks A = 

      dan determinan A^T!

       Apakah ada kesamaan antara nilai det(A) dan det(A^T)? Tulislah kesimpulanmu!

  

      Sifat 3

      Diberikan matriks A =  

       dan B = 

        carilah nilai AB dan det(AB)! 

        Setelah itu carilah nilai det(A) dengan rumus  

        dan det(B) dengan rumus 

        Apakah ada kesamaan hasil det(A) dan det(B) dengan rumus di atas dan dengan 

        menggunakan minor kofaktor? Tulislah kesimpulanmu!

Read More